Primeros cálculos de determinantes

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz
La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente.
Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. [1] . Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde
En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior [2] . El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japón al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

Historia de los determinantes

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene ordar que los chinos (Hui, Liu, iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tablas de eros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.

Determinantes

Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:

Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.
Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por aij
Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.
Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Propiedades de los determinantes

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo
Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
Ejemplo
Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) · det (B)
Ejemplo
Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
Ejemplo
Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0
Ejemplo
Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
det (L1, L1, L3...) = 0
Ejemplo
Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
det (L1, k·L1, L3...) = 0
Ejemplo
Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
Ejemplo
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
Ejemplo
Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.
Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.