Primeros cálculos de determinantes

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz
La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultaneamente.
Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. [1] . Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde
En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior [2] . El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de de Japón al mundo exterior. Este aislamiento debido a los shoguns, se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.